沙堆模型

(圖為自行寫程式產生)

曼陀羅

 

Abelian sandpile model - 維基百科

沙堆模型（Abelian Sandpile Model，也常稱為 BTW模型 或 chip-firing game）是目前數學與物理學中最經典的自組織臨界性（Self-Organized Criticality, SOC）模型之一，同時也是用「極簡單的局部規則」就能產生極度複雜、對稱、美麗圖案的代表性範例。

很多人直接稱它的穩定態圖案為「沙堆曼陀羅」（sandpile mandala），因為從中心持續加入沙粒後，最終形成的圖案經常呈現高度旋轉對稱、同心圓層次、放射狀結構，甚至帶有fractal（碎形）細節，看起來非常像宗教或冥想用的曼陀羅。

沙堆模型（Abelian Sandpile Model / BTW模型）的起源與發展過程

沙堆模型的歷史可以分成幾個關鍵階段，從物理學的靈感起源，到數學上的嚴格化，再>到後續的廣泛應用與變體。它是自組織臨界性（Self-Organized Criticality, SOC）這個概念的開山之作，影響了複雜系統、物理、數學、甚至藝術與哲學領域 。

1. 起源：1987年，Bak–Tang–Wiesenfeld (BTW) 提出原始模型

• 發表時間：1987年
• 論文：《Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise》（發表於《Physical Review Letters》59, 381）
• 三位作者：
  • Per Bak（丹麥物理學家，後來寫了經典科普書《How Nature Works》）
  • Chao Tang（湯超，華裔物理學家）
  • Kurt Wiesenfeld（美國物理學家）
• 最初動機：試圖解釋自然界中非常普遍的1/f 噪聲（也叫粉紅噪聲或閃爍噪聲），這種噪聲出現在地震、太陽黑子、金融市場波動、生物系統、心跳變異等許多地方。傳統物理模型很難解釋為什麼功率譜是1/f形式。
• 核心想法：他們提出一個極簡的格點模型——沙堆，用來展示系統如何自發地、不需外部調參就演化到一個臨界狀態（critical state），在那裡小擾動會引發各種尺度的「雪崩」（avalanche），雪崩大小服從冪律分佈（power-law），這正是1/f噪聲的來源之一。
• 這個模型當時被命名為 BTW模型 或 Bak–Tang–Wiesenfeld sandpile model，是自組織臨界性（SOC）概念的首次明確提出。

2. 1990年：Deepak Dhar 發現「Abelian」性質，數學化轉型

• Deepak Dhar（印度塔塔基礎研究中心物理學家）在1990年發表重要工作。
• 他證明：這個沙堆的崩塌過程具有阿貝爾性（Abelian property）——崩塌的順序不影響最終穩定態（任何順序處理超過閾值的格子，最>後結果都一樣）。
• 因為這個群結構（sandpile group），他正式將模型命名為 Abelian sandpile model（阿貝爾沙堆模型），這個名字後來變成最常用的稱呼。
• Dhar 的工作把模型從「物理玩具模型」提升到可嚴格數學研究的對象，開啟>了沙堆群（sandpile group）、遞迴配置（recurrent configurations）、身份元素（identity element）等代數結構的研究。

3. 1990年代中期～2000年代：數學與物理雙線爆發

• 物理方向：
• Per Bak 1996年出版科普書《How Nature Works》，大力推廣SOC概念，讓沙堆模型成為大眾認識複雜系統的經典範例。
• 人們開始把SOC套用到地震、古登堡-里克特定律、森林火災模型、演化生物學（間斷平 衡論）、金融崩盤、神經網路等。

• 數學方向：
• 發現沙堆模型與晶格動物（lattice animals）、均勻生成樹（uniform spanning trees）、Kac–Moody代數、Burning algorithm等有深刻聯繫。
• 出現chip-firing game（籌碼發射遊戲），這其實是同一模型的另一種表述，由Anders Björner、László Lovász、Peter Shor等人獨立發展（1980年代末～1990年代初），後來證明與BTW模型等價。
• 研究沙堆的身份元素（identity element of the sandpile group），也就是「最對稱的那個曼陀羅配置」，成為視覺最震撼的成果之一。

4. 2000年代後至今：持續擴展與跨領域應用

• 變體模型：Manna模型（隨機崩塌）、Zhang模型、Oslo模型、定向沙堆（directed sandpile）等，試圖更接近真實物理。
• 圖論與代數：在任意有限圖、一般格子（包括六角格、三角格）、甚至非歐幾里得空間上研究沙堆群的結構。
• 視覺與藝術：中心加沙形成的「沙堆曼陀羅」圖案被大量用在科普、生成藝術、冥想圖像中。
• 計算與大規模模擬：現代電腦可以輕鬆跑到幾億甚至十億粒沙，展現更細緻的fractal細節與多層次結構。
• 近期進展（到2020年代）：用於研究機器學習中的臨界學習、神經網路的自組織、量子版本的沙堆（quantum sandpile）等前沿交叉領域。

簡單時間軸總結

年份	事件	關鍵人物	意義
1987	首次提出BTW沙堆模型	Bak, Tang, Wiesenfeld	誕生SOC概念，解釋1/f噪聲
1990	發現Abelian性質，命名Abelian sandpile	Deepak Dhar	開啟嚴格數學研究
1996	出版《How Nature Works》	Per Bak	SOC概念大眾化
1990s~	chip-firing game 與 sandpile 等價證明	Björner, Lovász, Shor 等	數學與物理匯流
2000s~	沙堆群、身份元素、曼陀羅圖案研究高峰	多位數學家	視覺與代數美學爆發
2010s~現在	跨領域應用（神經科學、AI、量子）	持續發展	從玩具模型變成複雜系統基石工具

總結一句：
沙堆模型從1987年三個物理學家想解釋「為什麼自然界這麼多1/f現象」開始，意外開啟了>一扇通往自組織、湧現、臨界性、甚至數學曼陀羅美學的大門，至今仍是複雜系統研究中最 經典、最優雅的模型之一。

最常見也最漂亮的玩法：中心持續加沙

最經典的視覺展示方式是：

• 一開始整個格子都是 0
• 每次只在正中央那一個格子加 1 粒沙
• 加到系統不穩定 → 自動進行所有崩塌直到穩定
• 再加一粒、再崩塌、再穩定……
• 重複幾千、幾萬次……

結果會出現：

• 最中心區域幾乎是隨機的（但有規律）
• 往外逐漸出現越來越清晰的同心圓層次
• 更外面會出現放射狀臂、對角線結構
• 某些尺度下會出現fractal-like 的自相似細節
• 整體呈現高度四重旋轉對稱（90°、180°、270° 看起來很像）

當加到幾十萬甚至上百萬粒時，會形成非常壯觀的「沙堆曼陀羅」圖案。

為什麼這麼簡單的規則能產生曼陀羅？

這正是最令人著迷的地方：

• 局部極簡規則（只看自己是否≥4，只影響四鄰）
• 卻產生全局高度對稱的結構
• 這種「由簡單局部互動湧現出複雜全局秩序」的現象，正是複雜系統、自組織、湧現（emergence）的經典範例

很多人把它當作「數學版的曼陀羅生成器」，因為只要耐心加沙，就能自動長出越來越精緻、越來越對稱的圖案。

如果你有興趣自己玩：

• 網路上有很多沙堆模擬器（javascript 版、python 版都有）
• 最有名的是「Sandpile」這個詞搜尋，就會看到一堆互動版本
• 推薦從 201×201 或 401×401 格子開始，中心加到 10000~50000 粒左右，就能看到很漂亮的曼陀羅了

簡單一句話總結：

沙堆模型是用「4就炸，分給四鄰」這一個規則，卻能自動長出宇宙中最對稱、最像曼陀羅的數學圖案之一。