牛頓環 Newton's ring

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%89%9B%E9%A0%93%E7%92%B0

將一塊平凸透鏡凸面朝下放在一塊平面透鏡上，將單色光直射向凸鏡的平面，可以觀察到一個個明暗相間的圓環條紋。

若使用白光，則可以觀察到彩虹狀的圓環彩色條紋。第一個對此現象進行分析的人是英國物理學家艾薩克·牛頓爵士，因而命名為牛頓環

http://baike.baidu.com/view/49777.htm?fr=iciba

e : 歐拉數 Euler's number

ref: http://zh.wikipedia.org/wiki/E_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%B8%B8%E6%95%B0)

歐拉數, 自然對數函數的底數







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證明:

歐拉公式 - 對數, pi, 虛數

ref: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%AC%A7%E6%8B%89%E5%85%AC%E5%BC%8F



歐拉公式

若令，則有

e : 自然對數的底數

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證明:

階乘

定義: n! = n x (n-1) x (n-2) ... x 1
          n 為正整數

=> f(x) = x * f(x-1)

擴展到 0 : 0! 為 1
      f(1) = 1 * f(0)

Gamma 函數 : http://zh.wikipedia.org/wiki/%CE%93%E5%87%BD%E6%95%B0

微分 - 基本定律

定義:

法則:

href: http://webcai.math.fcu.edu.tw/calculus/calculus_html/3-3/law.htm


1. 常數微分 :

證明：

2.

證明: 

3. 冪次定律: 

證明:  假設n 為整數. 

4. 

證明:   

5. 加法定律 : 

證明: 

6. 減法定律 :  

7. 乘法定律 : 

證明: 

8. 除法定律 : 

證明: 

改變世界的17個方程式

1. 畢氏定理 - 畢達哥拉斯, BC530

2. 對數 - 納皮爾 Jonh, Napier, AD1610

把乗法變加法

3. 微積分 - 牛頓 Newton, AD 1668

4. 萬有引力定律 - 牛頓 Newton, AD 1687

5. -1 的平方根 虛數 - 尤拉 Euler / 笛卡爾 , AD 1750

延伸閱讀：伊恩・史都華，《改變世界的十七個方程式》（In Pursuit of the Unknown, 2012）

勾股定理 / 畢氏定理

改變世界的17個方程式

當餘弦變成零：一條不繞圈子的畢氏定理證明

畢氏定理 - 維基百科

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又稱為商高定理, 畢達哥拉斯定理.


( ref: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86 )

- 平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和
   等於 斜邊長（古稱弦長）的平方。

- 反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形


( ref: http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_07/ )

如設三角形 ABC 三個邊為 a,b,c，其中 c 為斜邊 （如圖一），則其間的關係為： a² + b² = c²。

圖一

證明方法一: 利用 代數平方公式

 前提:
     (1) 代數平方公式 :  (a+b)² = a² + b² + 2ab

     (2) 三角形內角和 :  平角(180 度 )
     (3) 正方形 : 直角 (90 度)
     (4) 三角形面積 : ab/2
     (5) 正方形面積 

圖二

相同之四個直角三角形，我們很容易看出可接成如圖二之圖形，而形成一正方形，此正方形恰好是由原四個相同之直角三角形及一邊長為 c 的正方形所合成。當我們知道正方形的面積為一邊長的平方時，則有下列關係。 

此處  表原直角三角形之面積，化簡上式，結果得： 

a² + b² = c² .

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證明方法二:

梯形方式

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證明方式三: 弦圖

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證明方式四: 相似三角形

射影定理

（射影定理）

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The Pythagorean Proposition: Elisha S. Loomis
The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History  - Eli Maor