NJScientia: 勾股定理

2014年9月20日星期六

勾股定理

又稱為商高定理, 畢達哥拉斯定理.

( ref: http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8B%BE%E8%82%A1%E5%AE%9A%E7%90%86 )

- 平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和
等於斜邊長（古稱弦長）的平方。

- 反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形

( ref: http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_07/ )

如設三角形 ABC 三個邊為 a,b,c，其中 c 為斜邊（如圖一），則其間的關係為： a² + b² = c²。

圖一

證明方法一: 利用代數平方公式

前提:
(1) 代數平方公式 : (a+b)² = a² + b² + 2ab

(2) 三角形內角和 : 平角(180 度 )
(3) 正方形 : 直角 (90 度)
(4) 三角形面積 : ab/2
(5) 正方形面積

圖二

相同之四個直角三角形，我們很容易看出可接成如圖二之圖形，而形成一正方形，此正方形恰好是由原四個相同之直角三角形及一邊長為 c 的正方形所合成。當我們知道正方形的面積為一邊長的平方時，則有下列關係。

$\begin{displaymath}(a+b)^2 = 4( \frac{1}{2} ab) +c^2 \end{displaymath}$

此處 $\frac{1}{2} ab$ 表原直角三角形之面積，化簡上式，結果得：

a² + b² = c² .

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證明方法二:

梯形方式

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證明方式三: 弦圖

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證明方式四: 相似三角形

射影定理

（射影定理）

$\triangle BAC\sim \triangle ADC\sim \triangle BDA$
$\overline{A C}^2 = \overline{C D} \times \overline{C B}$
$\overline{A B}^2 = \overline{B D} \times \overline{B C}$
$\overline{A D}^2 = \overline{D C} \times \overline{D B}$

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The Pythagorean Proposition: Elisha S. Loomis
The Pythagorean Theorem: A 4000-Year History - Eli Maor

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