曼陀羅

 

曼陀羅圖形（Mandala）源自梵文「圓圈」之意，為一種以中心點放射對稱的幾何圖案，常見於印度教與佛教藝術，具有嚴謹的數學對稱結構。 從科學視角，其涉及幾何學、心理學與神經科學領域的研究。

幾何特性

曼陀羅通常以單一中心點為核心，向外呈放射狀對稱展開，包含旋轉對稱、鏡像對稱及圓錐曲線形態，常見元素如蓮花、圓環與重複圖騰。 這些圖案展現分形自相似性（fractal-like），由簡單重複單元建構複雜結構，符合群論中的對稱群（symmetry groups）。

心理學應用

瑞士心理學家榮格（Carl Jung）視曼陀羅為「自性化」（individuation）工具，繪製過程可整合無意識，產生療癒效果，現代藝術療法證實其有助減壓與提升專注。 腦科學研究顯示，觀想或繪製曼陀羅激活大腦對稱區域，類似冥想降低杏仁核活性，緩解焦慮。

思考工具延伸

曼陀羅九宮格（Mandala Charting）為日本發明的視覺化思考法，以中心主題放射八方概念，形成3x3矩陣，可擴展至81格，用於腦storming與邏輯規劃，基於放射性與螺旋思考原理。

有好幾種用極簡單的規則就能產生很像曼陀羅（mandala）那種放射對稱、層層向外展開、華麗又複雜圖形的系統。這些跟人工生命（Artificial Life）或圍棋（簡單規則產生極高複雜度）的精神非常像。

以下列幾種最經典、也最容易理解的類型：

1. 沙堆模型（Abelian Sandpile / Chip-firing game） 這可能是最接近「用最簡單規則產生曼陀羅」的經典例子 規則極簡單：

   • 每個格子可以堆積「沙粒」（整數）
   • 當某格子的沙粒 ≥ 4 時，就會「崩塌」：自己減4，四個鄰居（上下左右）各加1
   • 重複這個過程

   從單一格子不斷加沙，或從中間加入大量沙粒，會自然形成非常漂亮的對稱曼陀羅圖案，有層層同心圓、放射狀結構，甚至會出現 fractal 般的細節。 很多人直接稱它為「沙堆曼陀羅」。

2. 圓形/極坐標上的細胞自動機（Circular / Polar Cellular Automata） 把一般細胞自動機（cellular automaton）包到圓形格子上（或用極坐標），再加上放射對稱初始條件或濾鏡（blur + threshold），很容易長出曼陀羅。 有時候只要用非常簡單的總和規則（totalistic rule）或模仿「Day & Night」之類的規則，跑幾百步就會出現很宗教感的對稱圖案。

3. 反應-擴散系統（Reaction-Diffusion）在圓形域 + 對稱初始條件 最經典的就是 Gray-Scott 模型或 Schnakenberg 模型，只用兩個化學物質的極簡單反應 + 擴散方程。 如果把初始條件設成中心一點擾動，或是強制八方位/十二方位對稱，會長出非常多同心圓層次 + 放射花紋的曼陀羅結構。

4. L-system + 嚴格旋轉對稱 雖然 L-system 最常拿來畫樹、植物，但只要把產生規則改成「每次前進後強制旋轉 60°/45°/90°」，並搭配粗細/顏色變化，就能很快畫出漂亮的幾何曼陀羅。 這是「用最少指令畫最複雜對稱圖」的經典方法之一。

5. 簡單的迭代函數系統（IFS） + 旋轉對稱 例如每次做縮小 + 旋轉 72°（五次對稱）或 60°（六次對稱） + 平移一點點，疊很多次就會出現典型曼陀羅感。

其中最推薦新手快速看到「哇！真的像曼陀羅」的兩個：

• 沙堆模型（最純粹、最震撼的 emergent 對稱）
• 極坐標細胞自動機 + 簡單規則（視覺上最直接像宗教曼陀羅）

極簡入門建議：

• 沙堆：搜尋 "sandpile mandala" 或 "abelian sandpile visualization"，有很多互動網頁可以直接加沙看長大

• 圓形CA：搜尋 "polar cellular automata mandala" 或 processing/p5.js 上面有很多範例程式碼