機率學

古代的根源

機率的起源可以追溯到古代，最早古埃及人發明了一個叫做「獵犬與胡狼」的棋盤遊戲（Hounds and Jackals），這也被認為是世界上最早的桌遊之一。玩家需要靠類似擲骰子的隨機方式來決定棋子的移動。遊戲中可能包含策略元素，但主要依賴於隨機性。

而這款遊戲不僅是娛樂活動，還可能具有象徵意義，與古埃及人對於生死和來世的信仰有關。考古學家在古埃及的墓地和神廟中發現了許多獵犬與胡狼遊戲的棋盤和棋子，這些發現顯示了這款遊戲在當時社會中的重要性。遊戲的設計和玩法可能反映了古埃及人對於命運和運氣的理解。

在其他地方，許多文化也使用隨機事件（如擲骰子或投擲骨頭）來進行占卜，這種做法影響了人們對機率的理解，人們相信這些隨機結果可能反映神的意志。

文藝復興時期的發展

• 16世紀的轉變：隨著文藝復興的興起，對於數學和科學的興趣增加，機率的研究開始受到重視。意大利數學家卡爾達諾（Gerolamo Cardano）在1550年撰寫的手稿中首次系統性地探討了骰子的概率問題，雖然這本手稿在他死後多年才被發現並出版。

• 帕斯卡與費馬的貢獻：機率理論的真正奠基者是法國數學家布萊茲·帕斯卡（Blaise Pascal）和皮埃爾·德·費馬（Pierre de Fermat）。他們在1654年針對一個賭博問題進行了著名的通信，這個問題涉及到如何在遊戲中分配賭注，這一過程中他們提出了機率的基本概念和計算方法，標誌著現代機率論的開始。

18世紀及以後的發展

• 進一步的理論化：隨著時間的推移，機率論逐漸發展成為一門獨立的數學學科。18世紀的數學家如雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli）和皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）進一步完善了機率的理論，並將其應用於統計學和其他科學領域。

• 現代應用：今天，機率論已成為數學、統計學、經濟學、社會科學等多個領域的重要工具，並在風險評估、決策分析等方面發揮著關鍵作用。

總結來說，機率的起源與古代的賭博活動密切相關，隨著數學的發展，特別是在文藝復興時期，機率論逐漸形成並發展成為一門重要的科學。

而在電腦科學中, 亂數設計也是一門學問. 所以業界有個 RFC 4086, NIST 也因此訂定了亂數的標準 FIPS 140-2, 可以參考這篇：

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底下問題, 也有用 ＡＩ來跑看看, 紀錄在：


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帕斯卡與費馬的分賭注問題

帕斯卡和費馬在通信中討論的「分賭注問題」（點數分配問題 Problem of Points - 維基百科）。這源於一位名叫梅雷（Chevalier de Méré）的法國貴族，他在一次擲骰子遊戲中遇到了賭注分配的困難。所以又稱為梅雷問題。

問題背景

梅雷和他的對手各自下注32枚金幣，共64枚金幣，並約定誰先獲得10分就贏得全部賭注。在遊戲進行中，梅雷已經獲得8分，而對手獲得7分。此時，由於梅雷接到緊急任務，必須中斷遊戲，這就引出了如何公平分配這64枚金幣的問題。

解決方案

帕斯卡和費馬在通信中提出了幾種解決方案，並最終達成共識。他們的思路主要基於以下幾個要點：

• 排列組合：他們將所有情況列出來, 看看哪些情況會贏, 哪些情況會輸。而有了後來的巴斯卡三角形 - 維基百科

• 期望值的概念：引入了「期望值」的概念，這是一種用來計算在隨機試驗中可能獲得的平均結果的方法。根據梅雷和對手的當前得分和贏得比賽的機會，以及所下的賭注，來計算出每位玩家的期望獲得金額。

• 公平分配：最終，他們的計算結果提供了一種公平的賭注分配方案，這不僅解決了梅雷的問題，也為後來的概率論奠定了基礎。

這一問題的討論被認為是概率論的起源之一，因為它促使了對隨機性和期望值的數學理解，並引導了後續的數學研究

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伯努利賭徒輸光問題

賭徒輸光問題（Gambler's Ruin Problem）是概率論中的一個經典問題，描述了在公平或不公平的賭局中，擁有有限資金的賭徒最終會輸光的數學現象。

問題描述

• 假設兩個賭徒（甲和乙）進行賭博，每局賭注為1單位，且每局的勝負概率分別為 p 和 q = 1 - p
• 甲的初始資金為 a ，乙的初始資金為 b。
• 賭局的目標是，某一方的資金歸零，另一方贏得所有資金。

數學模型

• 賭局可以用隨機游走模型來模擬，甲的資金變化可以看作一個隨機過程。
• 當甲的資金達到0時，表示甲輸光；當甲的資金達到 a + b 時，表示甲贏得所有資金。

結論

1. 公平賭局 ( p = q = 0.5 )：

   • 若甲乙的初始資金相等，則甲輸光和乙輸光的概率相等。
   • 若甲乙的初始資金不等，資金較多的一方更有優勢。
   • 無論如何，若賭局無限進行，擁有有限資金的賭徒最終必然輸光，這是「賭徒輸光定理」的核心。

2. 不公平賭局 ( p 和 q 不相等 ）：

   • 若 p > q，則甲的勝率較高，但仍然可能輸光。
   • 若 $\mathrm{p\; <\; q，則甲的輸光概率更高。}$

意義

賭徒輸光問題揭示了在隨機過程中，有限資金的賭徒無法避免最終破產的命運，這與現實中的「十賭九輸」現象相符。

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伯努利大數定律

伯努利大數定律（Bernoulli's Law of Large Numbers）是概率論中的第一個極限定理，由雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）於1713年提出。它揭示了隨機事件的頻率與理論概率之間的關係。

定律內容

• 在大量獨立重複試驗中，某事件發生的頻率會趨近於該事件的理論概率。
• 用數學表達為：若事件 A 的發生概率為 p，則在 n 次獨立試驗中，事件 A 發生的次數 fn 滿足：

應用場景

• 硬幣投擲：假設投擲一枚公平硬幣，正面出現的概率為 0.5, 隨著投擲次數增加，正面出現的比例會趨近於 0.5

• 統計學：大數定律為樣本均值估計母體均值提供了理論基礎，廣泛應用於抽樣調查和數據分析。

意義

1. 概率的穩定性：大數定律表明，隨機現象在大量重複試驗中呈現出穩定的規律性。
2. 現實應用：該定律為保險、金融、統計學等領域提供了理論支持。例如，保險公司依賴大數定律來預測風險和設計保費。

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兩者的聯繫與區別

概念	賭徒輸光問題	大數定律
核心內容	賭徒在有限資金下，長期賭博必然輸光。	隨機事件的頻率趨近於理論概率。
數學模型	隨機游走模型，帶有吸收壁的概率過程。	大量重複試驗中，頻率收斂於概率。
應用場景	賭博、隨機過程分析。	統計學、保險、金融、抽樣調查。
意義	揭示有限資金的風險與隨機過程的不可避免性。	提供概率與頻率關係的理論基礎。

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中心極限定理 - 維基百科

棣莫弗-拉普拉斯定理（De Moivre–Laplace Theorem）是概率論中的一個重要結果，也是中心極限定理（Central Limit Theorem, CLT）的早期特殊形式。該定理主要描述了二項分布在樣本數趨於無窮大時，如何漸近地逼近正態分布。

棣莫弗（Abraham de Moivre）於1733年首次提出該定理，用於研究硬幣投擲等問題中二項分布的性質。

拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在1812年進一步推廣了該定理，並將其應用於更廣泛的概率問題中

該定理是中心極限定理的早期版本，後來被俄國數學家里雅普諾夫（Lyapunov）在1901年以更一般的形式嚴格證明

二項分布是一種常見的離散概率分布，用於描述在 n 次獨立試驗中，成功次數的分布情況。每次試驗只有兩種可能結果（成功或失敗）

二項分布的方差公式 ：Var(X) = np(1-p)

n : 試驗總次數

p : 成功機率

68-95-99.7 法則 / 三個標準差 - 維基百科

實際應用範例:

Ｑ：假設某保險公司統計顯示，20%的理賠用戶因被盜索賠。隨機抽查100名理賠用戶，求其中因被盜索賠人數在16至24之間的機率為多少？

Ａ： Var(X) = np( 1 - p) = 100 * 0.2 * 0.8 = 16

       標準差 ＝ sqrt(16) = 4

       所以 Ｐ( 16 <= X <= 24 ) = P ( (16-20)/4 <= Z <= (24-20)/4 ) = P(-1 <= Z <= 1)

       約 68%

       但實際如果要以常態分佈來近似二項分佈的話, 因為二項分布是離散, 正態分布是連續, 需要做一個連續性校正:

       P(16 - 0.5 <= X <= 24 + 0.5) = P( -1.125 <= Z <= 1.125) = P(Z ≤ 1.125) - P(Z ≤ -1.125)

       約 74%